2017 年 3 月 8 日
缘起 最近上班也好，家里也好，事情很多，比较忙。没有多少时间在CND上发东西了。但是还是经常来读CND上的文章和评论地。读到山湖庄说阿罗去世了，心里一惊。有些人可能你一辈子也不会认识，但是会对你的认知产生巨大影响。对我来说，阿罗就是一位。尽管我不是学经济的，但是对社会科学一直很感兴趣的我，第一次读到不可能定理时的那种震惊至今还在。十几年前，写下了阿罗定理的简介和推论。贴在CND上，被大家修理了一番。对我来说倒是从大家的评论中学到了不少东东。后来有空就把那篇简介修改了一下，存在文集里。今天，为了纪念这位我心目中上世纪最伟大的经济学家，再来介绍一下阿罗的生平和阿罗定理。
正文
上个世纪，二战后的经济学与上世纪初的物理学一样，是人类学术史上的一次大繁荣。个人以为，现代经济学里有三个伟大成就：一是经济博弈论，一是社会选择理论，还有就是交易成本理论。其中社会选择理论最为有趣，因为它与我们的民主常识有悖。这里，就我所理解的社会选择理论做一简单的介绍。
二十世纪上半叶，除了物理学在量子力学和相对论中取得了重大的进展之外，现代数学也有惊人的进展。其中最重要的就是数学基础，数学的基础是它的公理体系。十九世纪下半叶，德国数学家弗雷格（G．Frege）完备地发展了现代意义下的数理逻辑理论，他引进了命题演算、量词和约束变元，还完整地得到了谓词演算理论。对二十世纪上半叶的数学家来说，现代数学的基础就是应用数理逻辑把数学公理化、形式化。而数学的任务就是由其公理体系和逻辑推演出所有的数学命题。具体说来，就是把数学中的代数、几何、分析公理化、形式化，数学就只是基于这些公理的演绎了。
但是，好景不长。正当英国著名数学家、哲学家罗素（B．Russell）和他的同事怀特海（A．Whitehead），准备把数学基础归为逻辑；德国著名数学家希尔伯特（D．Hilbert），准备把数学公理化、形式化的时候。一九三一年，奥地利数学家哥德尔（Kurt Godel）证明了有名的哥德尔不完全定理：一个包含初等数论的形式系统的相容性，在该系统内是不可证明的。哥德尔定理不仅对数学本身来说意义重大，在方法论上的意义也非同小可。它不但对数理逻辑和数学有重大的影响，对人工智能、哲学、经济学也有着重大的影响。其中之一就是肯尼思·阿罗（Kenneth Joseph Arrow）的“阿罗不可能定理”。
肯尼思·阿罗于1921年8月23日出生于纽约的一个罗马尼亚裔的犹太人家庭。1940年，阿罗获纽约市立大学数学学士学位；1941年，获哥伦比亚大学经济统计的硕士学位；1951年，获哥伦比亚大学经济统计博士学位。
阿罗对数理逻辑一直很感兴趣。大学四年级时，二十世纪最重要的三位数理逻辑学家（哥德尔、塔斯基、图灵）之一，波兰数学学家塔斯基（A．Tarski），在纽约市立大学讲了一年的现代数理逻辑，阿罗从他那里了解到了传递性、排序等现代数理逻辑的基本概念。
当阿罗来到哥伦比亚大学，师从著名经济统计学家哈罗德·霍特林（Harold Hotelling）攻读数理经济学时。阿罗发现，数理逻辑在经济学中大有用处。最初，阿罗是把数理逻辑中的排序概念应用于消费者的最优决策。阿罗轻而易举地就推翻了由股东投票表决的方案。
阿罗对社会选择问题的严肃思考，源于解决股东投票的传递性悖论。这是一个古老的悖论，由法国哲学家、数学家孔多赛于1785年提出。1947年时，阿罗对孔多赛和其他有关材料一无所知。1948年，在芝加哥考尔斯（Cowles）经济研究委员会，阿罗对社会选择理论产生了兴趣。他发现“少数服从多数”只是在一定条件下的合理投票规则。很多情况下，“少数服从多数”不但不是最合理的，甚至是不可能的。一个月后，阿罗在《政治经济学杂志》上，读到了布莱克（Black）的一篇文章，文章表达了同样的思想。作为一个严肃的经济学家，当时的阿罗认为，致力于用一般均衡理论来建立可行的经济计量分析模型才是正道。象这类有趣的，但远离主流的经济学理论并不值得花太多时间。
1949年夏天，阿罗任兰德公司（RAND）顾问。兰德公司的研究范围很广，其中有当时还鲜为人知的对策论。公司研究员，哲学家赫尔墨（Helmer），正试图将对策论用于对国家关系的研究。他遇到了一个棘手的问题：当对局者为国家时，尽管每个人的偏好足够清楚，但由个人组成的集体偏好该如何定义？阿罗告诉他，经济学家考虑过这个问题，一个有效的形式化描述由伯格森（Bergson）于1938年给出。伯格森用一个社会福利函数的映射描述将个人偏好加总为社会偏好，它将每个人的效用组成的向量转化为一个社会效用。伯格森理论基于基数效用概念，阿罗认为不难用序数效用概念重新表述。赫尔墨请阿罗写一个详细说明，当阿罗着手写的时候，发现该问题就是两年来一直困扰着他的问题。既然“少数服从多数”一般来说不能将个人的偏好加总为社会偏好，也许还会有其他方法。几次碰壁之后，阿罗的直觉告诉他，结果可能正相反。很快，阿罗就得到了这一与预想相反的结果。几周后，阿罗对该结果用他在纽约学到的数理逻辑方法作了严格证明。于是，二十世纪最伟大的经济学理论之一就此诞生了。
古典经济学中的“看不见的手”原理表明，市场能够让每个人在实现个人私利最大化的同时产生公共利益。现代经济学理论表明，充分竞争的市场能够通过个人私利最大化行为，实现整个社会的资源有效配置，即公共利益。但市场只适用于私有物品，它不适用于公共物品。对公共物品的生产和消费，只能采用社会选择。那么，有没有一种非市场的社会选择规则，能使该选择从个人私利的最大化得出公共利益呢？或者说使国家利益与个人利益一致，从而实现共同繁荣强国富民呢？
阿罗对上述问题给出了一个严格的表述：即给定一些最普遍的的条件，有没有一种社会选择的规则存在，能够同时满足所有这些条件？这里社会选择指的就是由给定的个人偏好得出公共的或社会的偏好的规则。阿罗给出了从个人偏好得到社会偏好的五项必备条件：
首先，是理性原则，也称为传递性和完全性。简单地说，对于任何一组给定的个人偏好来说，社会选择应该是可传递的。也就是说，对一组给定的个人偏好而言，ＸＸ＞Ｙ＞Ｚ，那Ｚ不能大于Ｘ，这就是传递性。完全性说的是，社会选择必须产生一个秩序：即对任何两个可供选择的个人偏好Ｘ、Ｙ，任何一个人的选择必须是Ｘ＞Ｙ，Ｘ＝Ｙ，或者Ｙ＞Ｘ，不能有别的选择。
第二，是独立原则。Ｘ、Ｙ是两个选择方案，若个人关于Ｘ、Ｙ的相对偏好不改变，那么无论他关于Ｘ、Ｙ以外的个人偏好是否发生了变化，社会关于Ｘ、Ｙ的选择也不应改变。这就保证了社会偏好的顺序是由个人的偏好而来的。
第三，帕累托准则。在一个社会中的所有人都认为Ｘ＝Ｙ，即Ｘ和Ｙ没有差别，但只要有一个人认为Ｘ＞Ｙ，则社会必须认为Ｘ＞Ｙ。它虽然不符合少数服从多数的原则，但是却肯定了个人偏好的价值。
第四，非独裁原则。不存在这样一个人，他可以不论社会全体成员的个人偏好如何，让社会的的偏好总是和他个人的偏好一致。也就是说，没有一个人可以规定其他个人的偏好。从经济分析上来看，即任何个人都不能制定市场价格。
第五，无限制性。社会中的每个人都可以有他自己的偏好，而不受限制。不能出现这样的情况，即一部分人的偏好不被考虑、计算到整体的社会选择中，或者说一部分人因为他们的偏好被剥夺政治参与的权利。
这五个条件界定了从个人偏好导出社会偏好，从而决定社会偏好，实现公共利益所必须满足的要求。阿罗研究的结果却出人意外：任何社会选择规则，要同时满足上述所有五个条件是不可能的。这就是著名的阿罗不可能定理。
阿罗不可能定理指出任何社会选择规则，都不可能做到公共利益与私利的兼容。阿罗不可能定理是不是意味着任何社会选择都是没有意义的呢？不，它只是指出，社会选择不能实现以私利为基础的公共利益。自从有了人类社会以来，人们的社会活动从生产到交易，自觉地产生了一个商品交易的市场。亚当·斯密以来，人们越来越清楚地认识到，商品生产和市场交易不但能达成一个物质丰盛、精神愉悦向上的社会，还能因此最大程度地达成社会以私利为基础的公共利益。也就是说市场和市场规则不但达成了个人私利，也最大程度地达成了社会的公共利益。因此，在现代社会里，若能用市场规则，就要尽可能地用市场规则，社会选择应尽可能少用。也就是说要尽可能地使人类事务沿着市场机制运行。对于政府来说，越小的政府就越可取。事实上，许多人类事务依然依赖于社会选择。即使充分竞争的市场也会失效。因此，如何让社会选择兼容于私利与公共利益，就非常重要了。
社会选择的数学理论背后的伦理暗示，也是很有意义的。为了在政治进程中产生理性的社会选择，好象只有限制个人选择一条途径：社会选择的必备条件５，无限制性必然带来产生悖论的可能；这说明完全放任的自由会导致集体的不理性，集体的理性存在，必须在个人选择上做出限制，使个体之间达成共识。也就是说，我们不能要求社会选择像买彩票一样，听任机率的选择，而要主动加以干涉和限制。无论是教育、互惠和沟通带来的妥协或共识，甚至采用一定的强制手段。
社会选择中最常见的就是投票。现有的民主的投票制度有三种：一是全体一致的投票制；二是多数票制；三是否定个体平等的加权和需求显示法。投票是公共领域里从个人偏好得出公共偏好、即从个人私利得出公共利益的最好的机制。自由的投票规则有三个特点：一是让投票来从个人偏好得出集体偏好；二是所有投票者对可能的方案有充分的了解；三是每个投票者都是独立地进行投票。
一致同意在小范围内可能实现，在大范围内成本太高。多数规则有一个问题：就是在多项选择的情况下，多数法则可能给出多个解，最终解如何，取决于投票程序。因此，多数法则存在着某种内在的不一致性，这就是投票悖论。阿罗的不可能定理表明，任何一种社会选择的投票方法都不能完全解决投票悖论，因为任何社会选择规则都不可能满足他所提出的五项条件。
这个结果的推论是：一个社会不可能有完全的个人自由，也不可能实现完全的自由经济。这一结论令人震惊，这到底是人们对社会的认识的一个新高度呢，还是一个新的谬论呢？阿罗不可能定理一经问世，就是经济学家和政治学家争论的论题。阿罗不可能定理对政治哲学和经济学产生了巨大的冲击。一些有名的经济学家，萨缪尔森（P Samuelson）和黄有光就曾著文反驳阿罗不可能定理。但阿罗不可能性定理经受住了所有技术上的批评，其基本理论无懈可击，于是，阿罗不可能定理成了经济学家和政治学家面前的一个不可逾越的障碍。怎样加总社会个体的偏好，怎样找出令人满意的评价不同社会形态的政治经济理论，就成了一个难题。
到了十九世纪后期，在美国这个最接近亚当·斯密的自由放任的社会环境中，出现了人们不愿意看见的经济垄断现象，即类似于政治生活中的专制现象。也就是说，市场这样的社会选择会造成某种人们没有预见到的垄断，以至于市场的竞争机制大大减弱。因此，社会必须为市场制定规则，制约多数企业联合和垄断，使少数有特色的企业有生存的空间。像立宪政府一样，尽管有各利益集团非理性的争斗，但争斗的结果是避免了有着高度个人理性的独裁。因为独裁就是独裁者的个人利益最大化。真正的自由的民主制是不允许有任何个人的利益最大化的。用政府及社会对比市场，很容易看出为了避免出现经济垄断，必须像立宪政治的宪法那样，为市场和经济生活建立类似宪法那样的规则。从美国十九世纪末和二十世纪初的经济垄断和反垄断的斗争中，美国人民渐渐地确立起一种全新的信念：像政府高度集中的权力会导致腐败一样，工商界高度集中的权力，同样会导致经济上的腐败——垄断。政府有限制垄断、维护自由竞争的市场秩序的责任。
当人们把阿罗的理论解释为现代民主制的困难时，詹姆斯·布坎南（James Buchanan），对阿罗的理论给出了一个不同解释：现代民主程序的非理性（即逻辑上的悖论）正好指出了现代的民主精神不会使任何个人的权益最大化。也就是说，现代民主的非理性是由于各个利益集团你争我斗、讨价还价的结果，所以这种结果缺乏逻辑上的内在一致，看上去荒唐又悖理。但正是民主与独裁的最大区别，独裁可以有着高度的个人理性，但那只是独裁者一个人的个人利益最大化。而真正的自由的民主制是不能有任何个人的利益的最大化。
布坎南分析了立宪民主的逻辑基础问题。他研究的不是人们怎样制定宪法，而是在制定宪法过程中哪些政府理论影响了理性的利益最大化的制宪者。根据布坎南的研究，理性的制宪者心中充满了害怕而不是希望。他们不信任政府，认为政府是自由的最大威胁。担心当政府在抑制人的恶行的同时，也会抑制人的自由。历史上，所有的国家，都有过压制人民的专制政府。因此，理性的制宪者关心的是怎样保护自己，他们对政府的帮助不感兴趣。为了保护个人自由，他们要求宪法在一致同意的情况下生效，并给每一个人否决权，这样政府就不可能浪费纳税人的钱。但每人一票否决权将使政府在公共事业中一事无成。一致同意会使政府失效，或者向反对者行贿，这样的成本将极高。理性的制宪者必然选择多数原则。但是，多数原则必然走向大政府和权力寻租泛滥。因此，制宪者就会制约多数权力、保护少数权利，这样的立宪政府就一定是有限的政府。
布坎南给出了立宪的基本原则。他认为，人的本性有好有坏，但“在设计政治制度及对宪法确定若干检查和控制条款时，每个人都必须被当作无赖，他的所有行为除了追求私人利益外，别无其他”。生命的本质是自身的生存与繁埴，也就是自私的。这些自私的人一旦在公共领域里掌了权，必然会损公肥私，即使大多数人是大公无私的，但只要有人自私，损公肥私就必然发生。因此，“立宪的一个重要原因就是──掌权者必将滥用政治权力去促进其特殊利益；这是事物和人性的自然趋势，这是目的在于保障个人自由的所有制度特别要防范的”。
凯恩斯主义想用政府预算来实现宏观经济目标，忽视了政治决策对预算的影响。社会选择理论表明，民主政府倾向于支出而不愿征税，也就是说民主政府会走向赤字政府。布坎南认为，当对政治行为参与者的道德约束失去了其应有的效力时，民主政府就必须限制赤字，以保证政府对税收应负的责任。布坎南还给出这样的结论：“利益集团之间不受约束的政治斗争不可能促进分配公平的种种目标”。这样，社会就应有适当的制度安排，来制约利益集团之间的竞争，使利益集团之间的竞争能达成公共利益。
社会选择理论成功地把经济的人的假设运用于政治领域，这一理论的成功说明了，在社会科学研究的工具中，经济学最有效。
正文
上个世纪，二战后的经济学与上世纪初的物理学一样，是人类学术史上的一次大繁荣。个人以为，现代经济学里有三个伟大成就：一是经济博弈论，一是社会选择理论，还有就是交易成本理论。其中社会选择理论最为有趣，因为它与我们的民主常识有悖。这里，就我所理解的社会选择理论做一简单的介绍。
二十世纪上半叶，除了物理学在量子力学和相对论中取得了重大的进展之外，现代数学也有惊人的进展。其中最重要的就是数学基础，数学的基础是它的公理体系。十九世纪下半叶，德国数学家弗雷格（G．Frege）完备地发展了现代意义下的数理逻辑理论，他引进了命题演算、量词和约束变元，还完整地得到了谓词演算理论。对二十世纪上半叶的数学家来说，现代数学的基础就是应用数理逻辑把数学公理化、形式化。而数学的任务就是由其公理体系和逻辑推演出所有的数学命题。具体说来，就是把数学中的代数、几何、分析公理化、形式化，数学就只是基于这些公理的演绎了。
但是，好景不长。正当英国著名数学家、哲学家罗素（B．Russell）和他的同事怀特海（A．Whitehead），准备把数学基础归为逻辑；德国著名数学家希尔伯特（D．Hilbert），准备把数学公理化、形式化的时候。一九三一年，奥地利数学家哥德尔（Kurt Godel）证明了有名的哥德尔不完全定理：一个包含初等数论的形式系统的相容性，在该系统内是不可证明的。哥德尔定理不仅对数学本身来说意义重大，在方法论上的意义也非同小可。它不但对数理逻辑和数学有重大的影响，对人工智能、哲学、经济学也有着重大的影响。其中之一就是肯尼思·阿罗（Kenneth Joseph Arrow）的“阿罗不可能定理”。
肯尼思·阿罗于1921年8月23日出生于纽约的一个罗马尼亚裔的犹太人家庭。1940年，阿罗获纽约市立大学数学学士学位；1941年，获哥伦比亚大学经济统计的硕士学位；1951年，获哥伦比亚大学经济统计博士学位。
阿罗对数理逻辑一直很感兴趣。大学四年级时，二十世纪最重要的三位数理逻辑学家（哥德尔、塔斯基、图灵）之一，波兰数学学家塔斯基（A．Tarski），在纽约市立大学讲了一年的现代数理逻辑，阿罗从他那里了解到了传递性、排序等现代数理逻辑的基本概念。
当阿罗来到哥伦比亚大学，师从著名经济统计学家哈罗德·霍特林（Harold Hotelling）攻读数理经济学时。阿罗发现，数理逻辑在经济学中大有用处。最初，阿罗是把数理逻辑中的排序概念应用于消费者的最优决策。阿罗轻而易举地就推翻了由股东投票表决的方案。
阿罗对社会选择问题的严肃思考，源于解决股东投票的传递性悖论。这是一个古老的悖论，由法国哲学家、数学家孔多赛于1785年提出。1947年时，阿罗对孔多赛和其他有关材料一无所知。1948年，在芝加哥考尔斯（Cowles）经济研究委员会，阿罗对社会选择理论产生了兴趣。他发现“少数服从多数”只是在一定条件下的合理投票规则。很多情况下，“少数服从多数”不但不是最合理的，甚至是不可能的。一个月后，阿罗在《政治经济学杂志》上，读到了布莱克（Black）的一篇文章，文章表达了同样的思想。作为一个严肃的经济学家，当时的阿罗认为，致力于用一般均衡理论来建立可行的经济计量分析模型才是正道。象这类有趣的，但远离主流的经济学理论并不值得花太多时间。
1949年夏天，阿罗任兰德公司（RAND）顾问。兰德公司的研究范围很广，其中有当时还鲜为人知的对策论。公司研究员，哲学家赫尔墨（Helmer），正试图将对策论用于对国家关系的研究。他遇到了一个棘手的问题：当对局者为国家时，尽管每个人的偏好足够清楚，但由个人组成的集体偏好该如何定义？阿罗告诉他，经济学家考虑过这个问题，一个有效的形式化描述由伯格森（Bergson）于1938年给出。伯格森用一个社会福利函数的映射描述将个人偏好加总为社会偏好，它将每个人的效用组成的向量转化为一个社会效用。伯格森理论基于基数效用概念，阿罗认为不难用序数效用概念重新表述。赫尔墨请阿罗写一个详细说明，当阿罗着手写的时候，发现该问题就是两年来一直困扰着他的问题。既然“少数服从多数”一般来说不能将个人的偏好加总为社会偏好，也许还会有其他方法。几次碰壁之后，阿罗的直觉告诉他，结果可能正相反。很快，阿罗就得到了这一与预想相反的结果。几周后，阿罗对该结果用他在纽约学到的数理逻辑方法作了严格证明。于是，二十世纪最伟大的经济学理论之一就此诞生了。
古典经济学中的“看不见的手”原理表明，市场能够让每个人在实现个人私利最大化的同时产生公共利益。现代经济学理论表明，充分竞争的市场能够通过个人私利最大化行为，实现整个社会的资源有效配置，即公共利益。但市场只适用于私有物品，它不适用于公共物品。对公共物品的生产和消费，只能采用社会选择。那么，有没有一种非市场的社会选择规则，能使该选择从个人私利的最大化得出公共利益呢？或者说使国家利益与个人利益一致，从而实现共同繁荣强国富民呢？
阿罗对上述问题给出了一个严格的表述：即给定一些最普遍的的条件，有没有一种社会选择的规则存在，能够同时满足所有这些条件？这里社会选择指的就是由给定的个人偏好得出公共的或社会的偏好的规则。阿罗给出了从个人偏好得到社会偏好的五项必备条件：
首先，是理性原则，也称为传递性和完全性。简单地说，对于任何一组给定的个人偏好来说，社会选择应该是可传递的。也就是说，对一组给定的个人偏好而言，ＸＸ＞Ｙ＞Ｚ，那Ｚ不能大于Ｘ，这就是传递性。完全性说的是，社会选择必须产生一个秩序：即对任何两个可供选择的个人偏好Ｘ、Ｙ，任何一个人的选择必须是Ｘ＞Ｙ，Ｘ＝Ｙ，或者Ｙ＞Ｘ，不能有别的选择。
第二，是独立原则。Ｘ、Ｙ是两个选择方案，若个人关于Ｘ、Ｙ的相对偏好不改变，那么无论他关于Ｘ、Ｙ以外的个人偏好是否发生了变化，社会关于Ｘ、Ｙ的选择也不应改变。这就保证了社会偏好的顺序是由个人的偏好而来的。
第三，帕累托准则。在一个社会中的所有人都认为Ｘ＝Ｙ，即Ｘ和Ｙ没有差别，但只要有一个人认为Ｘ＞Ｙ，则社会必须认为Ｘ＞Ｙ。它虽然不符合少数服从多数的原则，但是却肯定了个人偏好的价值。
第四，非独裁原则。不存在这样一个人，他可以不论社会全体成员的个人偏好如何，让社会的的偏好总是和他个人的偏好一致。也就是说，没有一个人可以规定其他个人的偏好。从经济分析上来看，即任何个人都不能制定市场价格。
第五，无限制性。社会中的每个人都可以有他自己的偏好，而不受限制。不能出现这样的情况，即一部分人的偏好不被考虑、计算到整体的社会选择中，或者说一部分人因为他们的偏好被剥夺政治参与的权利。
这五个条件界定了从个人偏好导出社会偏好，从而决定社会偏好，实现公共利益所必须满足的要求。阿罗研究的结果却出人意外：任何社会选择规则，要同时满足上述所有五个条件是不可能的。这就是著名的阿罗不可能定理。
阿罗不可能定理指出任何社会选择规则，都不可能做到公共利益与私利的兼容。阿罗不可能定理是不是意味着任何社会选择都是没有意义的呢？不，它只是指出，社会选择不能实现以私利为基础的公共利益。自从有了人类社会以来，人们的社会活动从生产到交易，自觉地产生了一个商品交易的市场。亚当·斯密以来，人们越来越清楚地认识到，商品生产和市场交易不但能达成一个物质丰盛、精神愉悦向上的社会，还能因此最大程度地达成社会以私利为基础的公共利益。也就是说市场和市场规则不但达成了个人私利，也最大程度地达成了社会的公共利益。因此，在现代社会里，若能用市场规则，就要尽可能地用市场规则，社会选择应尽可能少用。也就是说要尽可能地使人类事务沿着市场机制运行。对于政府来说，越小的政府就越可取。事实上，许多人类事务依然依赖于社会选择。即使充分竞争的市场也会失效。因此，如何让社会选择兼容于私利与公共利益，就非常重要了。
社会选择的数学理论背后的伦理暗示，也是很有意义的。为了在政治进程中产生理性的社会选择，好象只有限制个人选择一条途径：社会选择的必备条件５，无限制性必然带来产生悖论的可能；这说明完全放任的自由会导致集体的不理性，集体的理性存在，必须在个人选择上做出限制，使个体之间达成共识。也就是说，我们不能要求社会选择像买彩票一样，听任机率的选择，而要主动加以干涉和限制。无论是教育、互惠和沟通带来的妥协或共识，甚至采用一定的强制手段。
社会选择中最常见的就是投票。现有的民主的投票制度有三种：一是全体一致的投票制；二是多数票制；三是否定个体平等的加权和需求显示法。投票是公共领域里从个人偏好得出公共偏好、即从个人私利得出公共利益的最好的机制。自由的投票规则有三个特点：一是让投票来从个人偏好得出集体偏好；二是所有投票者对可能的方案有充分的了解；三是每个投票者都是独立地进行投票。
一致同意在小范围内可能实现，在大范围内成本太高。多数规则有一个问题：就是在多项选择的情况下，多数法则可能给出多个解，最终解如何，取决于投票程序。因此，多数法则存在着某种内在的不一致性，这就是投票悖论。阿罗的不可能定理表明，任何一种社会选择的投票方法都不能完全解决投票悖论，因为任何社会选择规则都不可能满足他所提出的五项条件。
这个结果的推论是：一个社会不可能有完全的个人自由，也不可能实现完全的自由经济。这一结论令人震惊，这到底是人们对社会的认识的一个新高度呢，还是一个新的谬论呢？阿罗不可能定理一经问世，就是经济学家和政治学家争论的论题。阿罗不可能定理对政治哲学和经济学产生了巨大的冲击。一些有名的经济学家，萨缪尔森（P Samuelson）和黄有光就曾著文反驳阿罗不可能定理。但阿罗不可能性定理经受住了所有技术上的批评，其基本理论无懈可击，于是，阿罗不可能定理成了经济学家和政治学家面前的一个不可逾越的障碍。怎样加总社会个体的偏好，怎样找出令人满意的评价不同社会形态的政治经济理论，就成了一个难题。
到了十九世纪后期，在美国这个最接近亚当·斯密的自由放任的社会环境中，出现了人们不愿意看见的经济垄断现象，即类似于政治生活中的专制现象。也就是说，市场这样的社会选择会造成某种人们没有预见到的垄断，以至于市场的竞争机制大大减弱。因此，社会必须为市场制定规则，制约多数企业联合和垄断，使少数有特色的企业有生存的空间。像立宪政府一样，尽管有各利益集团非理性的争斗，但争斗的结果是避免了有着高度个人理性的独裁。因为独裁就是独裁者的个人利益最大化。真正的自由的民主制是不允许有任何个人的利益最大化的。用政府及社会对比市场，很容易看出为了避免出现经济垄断，必须像立宪政治的宪法那样，为市场和经济生活建立类似宪法那样的规则。从美国十九世纪末和二十世纪初的经济垄断和反垄断的斗争中，美国人民渐渐地确立起一种全新的信念：像政府高度集中的权力会导致腐败一样，工商界高度集中的权力，同样会导致经济上的腐败——垄断。政府有限制垄断、维护自由竞争的市场秩序的责任。
当人们把阿罗的理论解释为现代民主制的困难时，詹姆斯·布坎南（James Buchanan），对阿罗的理论给出了一个不同解释：现代民主程序的非理性（即逻辑上的悖论）正好指出了现代的民主精神不会使任何个人的权益最大化。也就是说，现代民主的非理性是由于各个利益集团你争我斗、讨价还价的结果，所以这种结果缺乏逻辑上的内在一致，看上去荒唐又悖理。但正是民主与独裁的最大区别，独裁可以有着高度的个人理性，但那只是独裁者一个人的个人利益最大化。而真正的自由的民主制是不能有任何个人的利益的最大化。
布坎南分析了立宪民主的逻辑基础问题。他研究的不是人们怎样制定宪法，而是在制定宪法过程中哪些政府理论影响了理性的利益最大化的制宪者。根据布坎南的研究，理性的制宪者心中充满了害怕而不是希望。他们不信任政府，认为政府是自由的最大威胁。担心当政府在抑制人的恶行的同时，也会抑制人的自由。历史上，所有的国家，都有过压制人民的专制政府。因此，理性的制宪者关心的是怎样保护自己，他们对政府的帮助不感兴趣。为了保护个人自由，他们要求宪法在一致同意的情况下生效，并给每一个人否决权，这样政府就不可能浪费纳税人的钱。但每人一票否决权将使政府在公共事业中一事无成。一致同意会使政府失效，或者向反对者行贿，这样的成本将极高。理性的制宪者必然选择多数原则。但是，多数原则必然走向大政府和权力寻租泛滥。因此，制宪者就会制约多数权力、保护少数权利，这样的立宪政府就一定是有限的政府。
布坎南给出了立宪的基本原则。他认为，人的本性有好有坏，但“在设计政治制度及对宪法确定若干检查和控制条款时，每个人都必须被当作无赖，他的所有行为除了追求私人利益外，别无其他”。生命的本质是自身的生存与繁埴，也就是自私的。这些自私的人一旦在公共领域里掌了权，必然会损公肥私，即使大多数人是大公无私的，但只要有人自私，损公肥私就必然发生。因此，“立宪的一个重要原因就是──掌权者必将滥用政治权力去促进其特殊利益；这是事物和人性的自然趋势，这是目的在于保障个人自由的所有制度特别要防范的”。
凯恩斯主义想用政府预算来实现宏观经济目标，忽视了政治决策对预算的影响。社会选择理论表明，民主政府倾向于支出而不愿征税，也就是说民主政府会走向赤字政府。布坎南认为，当对政治行为参与者的道德约束失去了其应有的效力时，民主政府就必须限制赤字，以保证政府对税收应负的责任。布坎南还给出这样的结论：“利益集团之间不受约束的政治斗争不可能促进分配公平的种种目标”。这样，社会就应有适当的制度安排，来制约利益集团之间的竞争，使利益集团之间的竞争能达成公共利益。
社会选择理论成功地把经济的人的假设运用于政治领域，这一理论的成功说明了，在社会科学研究的工具中，经济学最有效。
